【題目】某農(nóng)場預(yù)算用5600元購買單價(jià)為50元(每噸)的鉀肥和20元(每噸)的氮肥,希望使兩種肥料的總數(shù)量(噸)盡可能的多,但氮肥數(shù)不少于鉀肥數(shù),且不多于鉀肥數(shù)的1.5倍.
(Ⅰ)設(shè)買鉀肥x噸,買氮肥y噸,按題意列出約束條件、畫出可行域,并求鉀肥、氮肥各買多少才行?
(Ⅱ)已知A(10,0),O是坐標(biāo)原點(diǎn),P(x,y)在(Ⅰ)中的可行域內(nèi),求 的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)肥料總數(shù)為z,z=x+y,
由題意得約束條件 ,即
畫出可行域(如圖)
目標(biāo)函數(shù):z=x+y,即y=﹣x+z,
表示斜率為﹣1,y軸上截距為z的平行直線系.
當(dāng)直線過點(diǎn)N時(shí),z最大.
聯(lián)立方程 ,解得N(70,105)
此時(shí)zmax=x+y=70+105=175.
∴購買鉀肥70噸,氮肥105噸時(shí),兩種肥料的總數(shù)量最大為175噸
(Ⅱ) , ,θ為 的夾角,∴s=10cosθ.有圖可知:
當(dāng)點(diǎn)P在線段OM時(shí),cosθ最大為 ,此時(shí)s最大值為 ;
當(dāng)點(diǎn)P在線段ON時(shí),cosθ最小為 ,此時(shí)s最小值為 .
∴
另解: , ,
代入可得
【解析】(Ⅰ)設(shè)肥料總數(shù)為z,z=x+y,列出約束條件,畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最值.(Ⅱ)利用向量的數(shù)量積,化簡目標(biāo)函數(shù),通過可行域,判斷s的最值即可.另解轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為直線的斜率,求解即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A、B、C所對應(yīng)的邊為a,b,c. (I)若sin(A+ )= cosA,求A的值;
(Ⅱ)若cosA= ,b=3c,求sinC的值.
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 2Sn=an+1﹣2n+1+1,n∈N* , 且a1 , a2+5,a3成等差數(shù)列.
(1)求a1
(2)證明 為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(3)設(shè)bn=log3(an+2n),且Tn= ,證明Tn<1.
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【題目】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a1=2,a3=18.?dāng)?shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2 , Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8 , 其中n=1,2,3,….試比較Pn與Qn的大小,并證明你的結(jié)論.
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【題目】△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,已知向量 =(cosA,sinA), =(cosB,﹣sinB),且| ﹣ |=1.
(1)求角C的度數(shù);
(2)若c=3,求△ABC面積的最大值.
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【題目】在矩形中, , 是邊的中點(diǎn),如圖(1),將沿直線翻折到的位置,使,如圖(2).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)已知, , 分別是線段, , 上的點(diǎn),且, , 平面,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】如果函數(shù)f(x)是定義在(﹣3,3)上的奇函數(shù),當(dāng)0<x<3時(shí),函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是( )
A.(﹣3,﹣ )∪(0,1)∪( ,3)
B.(﹣ ,﹣1)∪(0,1)∪( ,3)
C.(﹣3,﹣1)∪(0,1)∪(1,3)
D.(﹣3,﹣ )∪(0,1)∪(1,3)
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn , 且Sn=2n2+3n;
(1)求它的通項(xiàng)an .
(2)若bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】已知二次函數(shù)滿足f(x)=ax2+bx+c(a≠0),滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1,
(1)函數(shù)f(x)的解析式:
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值和最小值:
(3)若當(dāng)x∈R時(shí),不等式f(x)>3x﹣a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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