Question

定義域為R的函數(shù)f（x）=f（x+2k）（k∈Z）及f（-x）=-f（x），且當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（2）求證：f（x）在x∈（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先根據(jù)f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)；然后求出當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）的解析式；再由奇函數(shù)的性質(zhì)，進而求出f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，令x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，證出f（x₁）-f（x₂）＞0，即可推得f（x）在x∈（0，1）上是減函數(shù)．

解答： 解：（1）根據(jù)f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)；
則f（0）=0，f（-1）=-f（1），
又f（x）=f（x+2k）（k∈Z），則f（-1）=f（-1+2）=f（1），
所以f（-1）=f（1）=0，
當(dāng)x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
所以f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
可得f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

；
當(dāng)x∈（2k-1，2k）（k∈Z）時，x-2k∈（-1，0），f（x）=f（x-2k）=-

2x-2k

4x-2k+1

，
當(dāng)x∈（2k，2k+1）（k∈Z）時，x-2k∈（0，1]），f（x）=f（x-2k）=

2x-2k

4x-2k+1

，
因此f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式為：f(x)=

- 2x-2k 4x-2k+1 ，x∈(2k-1，2k)、 0，x=0、±1 2x-2k 4x-2k+1 ，x∈(2k，2k+1)

；
（2）令x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
因為x₁＜x₂，而且x₁、x₂∈（0，1），
所以2x2＞2x1，2x1+x2＞1，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，
因此f（x）在x∈（0，1）上是減函數(shù)．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷及證明，奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題．