試證：對任意的正整數(shù)n，有
1
1×2×3
+
1
2×3×4
+…+
1
n(n+1)(n+2)
＜
1
4
．
考點：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：利用裂項法，
1
n(n+1)(n+2)
=
1
2
[（
1
n
-
1
n+1
）-（
1
n+1
-
1
n+2
）]，再疊加，即可得出結(jié)論．
解答： 證明：∵
1
n(n+1)(n+2)
=
1
2
[（
1
n
-
1
n+1
）-（
1
n+1
-
1
n+2
）]，
∴
1
1×2×3
+
1
2×3×4
+…+
1
n(n+1)(n+2)
=
1
2
[（1-
1
2
）-（
1
2
-
1
3
）]+…+
1
2
[（
1
n
-
1
n+1
）-（
1
n+1
-
1
n+2
）]=
=
1
2
[（1-
1
2
）-（
1
n+1
-
1
n+2
）]＜
1
4
．
點評：本題考查不等式的證明，考查裂項法的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B分別是橢圓：
x2
4
+y2=1的左、右頂點，P（2，t）（t∈R，且t≠0）為直線x=2上一動點，過點P任意引一直線l與橢圓交于C、D，連結(jié)PO，直線PO分別和AC、AD連線交于E、F．
（1）當直線l恰好經(jīng)過橢圓右焦點和上頂點時，求t的值；
（2）若t=-1，記直線AC、AD的斜率分別為k1，k2，求證：
1
k1
+
1
k2
定值；
（3）求證：四邊形AFBE為平行四邊形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U={1，2，4，6，8，12}，集合A={8，x，y，z}，集合B={1，xy，yz，2x}，且z≠6、12，若A=B，A?U，B?U，求A的補集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義域為R的函數(shù)f（x）=f（x+2k）（k∈Z）及f（-x）=-f（x），且當x∈（0，1）時，f（x）=
2x
4x+1
．
（1）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（2）求證：f（x）在x∈（0，1）上是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

x的取值范圍為[0，10]，給出如圖所示程序框圖，輸入一個數(shù)x．求：
（Ⅰ）輸出的x（x＜6）的概率；
（Ⅱ）輸出的x（6＜x≤8）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x2-2x+2．
（1）求x∈[0，3]時，求f（x）的最值；
（2）求 x∈[t，t+1]時f（x）的最小值g（t）；
（3）求（2）中函數(shù)g（t）當t∈[-3，-2]時的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P（-1，
3
2
）是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓E上兩個動點，
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，λ≠2）．求證：直線AB的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=
ln(x-2)(x＞2)
2x+
∫
a
0
3t2dt(x≤2)
，若f（f（3））=9，則a=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點為A（3，-1），B（-1，1），C（1，3），則由△ABC圍成的區(qū)域所表示的二元一次不等式組為
 
．

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同步練習冊答案