Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率是，斜率不為0的直線：與相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).

（1）若、分別是的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)且時(shí)，求的值；

（2）試探究，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的、的關(guān)系式；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）可知滿足條件的點(diǎn)是存在的，且.

【解析】

（1）根據(jù)條件設(shè)，代入橢圓方程可求得，利用過(guò)點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算可得的值；

（2）先通過(guò)離心率是，將用表示出來(lái)，這樣橢圓方程可整理為，將其和直線聯(lián)立，根據(jù)，易得，設(shè)，，利用根與系數(shù)關(guān)系，代入計(jì)算可得、的關(guān)系式.

（1）因?yàn)?/span>，所以設(shè)，

代入中解得，即，

而，所以.

（2）當(dāng)時(shí)，、兩點(diǎn)在橢圓的同側(cè)，易知，故，

因?yàn)?/span>且，故，，

設(shè)橢圓為，，，

聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，

所以，，

又，，根據(jù)，易得，

于是，故，即，

故，化得，

化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?/span>，所以上式化簡(jiǎn)得，，

綜上，可知滿足條件的點(diǎn)是存在的，且.