Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=60°，∠A₁AC=∠A₁AB，AA₁=AB=AC=2，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面A₁AO；
（2）若A₁O=1，求直線BB₁與平面A₁C₁B所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C，證明BC⊥A₁O，OA⊥BC，即可證明BC⊥平面A₁AO；
（2）若A₁O=1，求出B₁到平面A₁BC₁距離，即可求直線BB₁與平面A₁C₁B所成角的正弦值．

解答 （1）證明：連接A₁C，則
∵∠A₁AC=∠A₁AB，AA₁=AB=AC，
∴△A₁AC=△A₁AB，∴A₁C=A₁B，
∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴BC⊥A₁O，
∵AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴OA⊥BC，
∵A₁O∩OA=O，
∴BC⊥平面A₁AO；
（2）解：由（1）可得BC⊥A₁A，∴四邊形BCC₁B₁是矩形，
∴C₁B=2$\sqrt{2}$，
∵A₁C₁=2，A₁B=$\sqrt{2}$，
∴cos∠A₁BC₁=$\frac{2+8-4}{2×\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠A₁BC₁=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴${S}_{△{A}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
設(shè)B₁到平面A₁BC₁距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×1$，
∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∴直線BB₁與平面A₁C₁B所成角的正弦值=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．