Question

20．調(diào)查表明：甲種農(nóng)作物的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x，y，z，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定這種農(nóng)作物的長勢等級(jí)，若ω≥4，則長勢為一級(jí)；若2≤ω≤3，則長勢為二級(jí)；若0≤ω≤1，則長勢為三級(jí)，為了了解目前這種農(nóng)作物長勢情況，研究人員隨機(jī)抽取10塊種植地，得到如表中結(jié)果：

種植地編號(hào)	A1	A2	A3	A4	A5
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，0，1）	（1，2，1）
種植地編號(hào)	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，1，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，2，1）	（1，1，1）

（Ⅰ）在這10塊該農(nóng)作物的種植地中任取兩塊地，求這兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率；
（Ⅱ）從長勢等級(jí)是一級(jí)的種植地中任取一塊地，其綜合指標(biāo)為A，從長勢等級(jí)不是一級(jí)的種植地中任取一塊地，其綜合指標(biāo)為B，記隨機(jī)變量X=A-B，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表可知：空氣濕度指標(biāo)為1的有A₂，A₄，A₅，A₇，A₉，A₁₀，空氣濕度指標(biāo)為2的有A₁，A₃，A₆，A₈，求出這10塊種植地中任取兩塊地，基本事件總數(shù)n，這兩塊地的空氣溫度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個(gè)數(shù)，然后求解概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X=A-B的所有可能取值為1，2，3，4，5，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由表可知：空氣濕度指標(biāo)為1的有A₂，A₄，A₅，A₇，A₉，A₁₀…（1分）
空氣濕度指標(biāo)為2的有A₁，A₃，A₆，A₈，…（2分）
在這10塊種植地中任取兩塊地，基本事件總數(shù)n=$C_{10}^2=\frac{10×9}{2}=45$…（3分）
這兩塊地的空氣溫度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個(gè)數(shù)$m=C_6^2+C_4^2=\frac{6×5}{2}+\frac{4×3}{2}=21$…（5分）
∴這兩地的空氣溫度的指標(biāo)z相同的概率$P=\frac{m}{n}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$…（6分）
（Ⅱ）由題意得10塊種植地的綜合指標(biāo)如下表：

編號(hào)	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
綜合指標(biāo)	4	4	6	1	4	4	3	5	4	3

其中長勢等級(jí)是一級(jí)（ω≥4）有A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，A₉，共7個(gè)，
長勢等級(jí)不是一級(jí)（ω＜4）的有A₄，A₇，A₁₀，共3個(gè)，…（7分）
隨機(jī)變量X=A-B的所有可能取值為1，2，3，4，5，…（8分）
w=4的有A₁，A₂，A₅，A₆，A₉共5塊地，w=3的有A₇，A₁₀共2塊地，這時(shí)有X=4-3=1
所以$P（x=1）=\frac{C_5^1C_2^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{10}{21}$，…（9分）
同理$P（x=2）=\frac{C_1^1C_2^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{2}{21}$，$P（x=3）=\frac{C_5^1C_1^1+C_1^1C_2^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{7}{21}$$P（x=4）=\frac{C_1^1C_1^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{1}{21}$，$P（x=5）=\frac{C_1^1C_1^1}{C_7^1C_3^1}=\frac{1}{21}$…（10分）
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{10}{21}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{7}{21}$	$\frac{1}{21}$	$\frac{1}{21}$

…（11分）
$EX=1×\frac{10}{21}+2×\frac{2}{21}+3×\frac{7}{21}+4×\frac{1}{21}+5×\frac{1}{21}=\frac{44}{21}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散性隨機(jī)變量的分布列的求法，概率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．