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1.已知數(shù)列{an}滿足{a1=1an+1=an+p2nnqnN其中p,q∈R.
(1)若數(shù)列前四項(xiàng)a1,a2,a3,a4依次成等差數(shù)列,求p,q的值;
(2)若q=0,且數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求p的值;
(3)若p=1,且a5是數(shù)列{an}的最小項(xiàng),求q的取值范圍.

分析 (1)由已知遞推式a2-a1=2p-q,a3-a2=4p-2q,a4-a3=8p-3q,再由等差數(shù)列的定義列等式求得p=q=0;
(2)q=0,則an+1=an+p2n,由等比數(shù)列的性質(zhì)列式求得p=0或p=12.然后分類求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)p=1時(shí),ana5=2n32n+4n52q,可得當(dāng)n≥6時(shí),an-a5≥0恒成立,利用作差法求得滿足條件的q的最大值;當(dāng)n≤4時(shí),需滿足an-a5≤0恒成立,對n=1、2、3、4驗(yàn)證求得q的最小值,從而可得q的取值范圍.

解答 解:(1)由已知遞推式可得,a1=1,a2=1+2p-q;
a2-a1=2p-q,a3-a2=4p-2q,a4-a3=8p-3q.
由等差數(shù)列知,a4-a3=a3-a2=a2-a1,得p=q=0;
(2)q=0,則an+1=an+p2n
a1a3=a22,得p=0或p=12
當(dāng)p=0時(shí),an+1=an,an=1,滿足題意;
當(dāng)p=12時(shí),由累加法得an=2n1,滿足題意;
(3)p=1時(shí),ana5=2n32n+4n52q
當(dāng)n≥6時(shí),由an-a5≥0恒成立得,q≤2n+164n+4n5恒成立.
設(shè)cn=2n+164n+4n5,只需求出cn的最小值.
cn+1cn=2n+1n23n20+128nn+4n+5n4n5
當(dāng)n≥7時(shí),n2-3n-20=n(n-3)-20≥8>0,有cn+1>cn;
當(dāng)n=6時(shí),直接驗(yàn)證c7>c6;
故c6為最小值,其值為325,∴q325;
當(dāng)n≤4時(shí),需滿足an-a5≥0恒成立,
對n=1、2、3、4驗(yàn)證,
n=1,q≥3;n=2,q289;n=3,q247;n=4,q≥4.
綜上,4q325

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式,考查等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了作差法比較兩個(gè)函數(shù)值的大小,考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力,屬難題.

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