Question

10．如圖直三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱長為3，AB⊥BC，且AB=BC=3，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（1）求證：無論E在何處，總有CB′⊥C′E；
（2）當三棱錐B-EB′F的體積取得最大值時，求AE的長度．
（3）在（2）的條件下，求異面直線A′F與AC所成角．

Answer 1

分析 （1）先由線線垂直證明線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)證明即可．
（2）利用函數(shù)求最值的方法，求解最值時符合的條件，確定E，F(xiàn)是AB，BC的中點，再求解．
（3）根據(jù)異面直線所成角的定義進行求解即可．

解答 解：（1）連接AC′、BC′，∵BB'C'C是正方形，
∴B′C⊥BC′
又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C
∴B′C⊥AB，BC′∩AB=B
∴B′C⊥平面ABC′，
又∵C′E?平面ABC′，
∴B′C⊥C′E
（2）設(shè)AE=BF=m，∵直三棱柱ABC-A′B′C′，
∴BB′為三棱錐B-EB′F的高，底面△BEF為直角三角形，
∴三棱椎B′-EBF的體積為$V=\frac{1}{2}m（3-m）≤\frac{{{{（m+3-m）}^2}}}{4}=\frac{9}{8}$．
當$m=\frac{3}{2}$時取等號，故當$m=\frac{3}{2}$，
即點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的中點時，體積最大，
此時△ABC為正三角形，
則AF=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
（3）由（2）知點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的中點時，體積最大，
則EF∥AC，
∴∠A′FE為異面直線AC與C′F所成的角；
∵$EF=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，$AF=A'E=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，$A'F=\frac{9}{2}$，
∴$|{cos∠A'FE}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查異面直線所成的以及線面垂直的判定與性質(zhì)，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．