Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²（2^x-2^-x），則不等式f（2x+1）+f（1）≥0的解集是{x|x≥-1}．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）=x²（2^x-2^-x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，進(jìn)而可以將f（2x+1）+f（1）≥0變形為f（2x+1）≥f（-1），結(jié)合單調(diào)性可得2x+1≥-1，解可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=x²（2^x-2^-x），其定義域?yàn)镽，
f（-x）=（-x）²（2^-x-2^x）=-x²（2^x-2^-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
函數(shù)f（x）=x²（2^x-2^-x），其導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²（2^x-2^-x）=2x•（2^x-2^-x）+x²•ln2（2^x+2^-x）＞0，為增函數(shù)；
而f（2x+1）+f（1）≥0?f（2x+1）≥-f（1）?f（2x+1）≥f（-1）?2x+1≥-1，
解可得x≥-1；
即不等式f（2x+1）+f（1）≥0的解集{x|x≥-1}，
故答案為：{x|x≥-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．