Question

16．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）中，F(xiàn)₂為其右焦點(diǎn)，A₁為其左頂點(diǎn)，點(diǎn)B（0，b），若以A₁F₂為直徑的圓經(jīng)過A₁B的中點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得A₁（-a，0），F(xiàn)₂（c，0），B（0，b），設(shè)A₁B的中點(diǎn)為M，求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，以A₁F₂為直徑的圓經(jīng)過A₁B的中點(diǎn)M，
可得MF₂⊥MA₁，即有${k}_{M{F}_{2}}$•${k}_{M{A}_{1}}$=-1，運(yùn)用斜率公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A₁（-a，0），F(xiàn)₂（c，0），B（0，b），
設(shè)A₁B的中點(diǎn)為M，可得M（-$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$），
以A₁F₂為直徑的圓經(jīng)過A₁B的中點(diǎn)M，
可得MF₂⊥MA₁，即有${k}_{M{F}_{2}}$•${k}_{M{A}_{1}}$=-1，
可得$\frac{\frac{2}}{-\frac{a}{2}-c}$•$\frac{\frac{2}}{-\frac{a}{2}+a}$=-1，
即為b²=a²+2ac，由b²=c²-a²，
可得c²-2a²-2ac=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$（負(fù)的舍去），
故答案為：1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角為直角，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．