Question

10．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x-1}$．
（1）當(dāng)x∈（1，+∞）時，求函數(shù)f（x）的最小值，并求出相應(yīng)的x的值；
（2）求不等式f（x）≥-2的解集．

Answer 1

分析 （1）原函數(shù)解析式可變成$f（x）=（x-1）+\frac{2}{x-1}+1$，并判斷x-1＞0，從而由基本不等式即可求出該函數(shù)的最小值，并求出對應(yīng)x值；
（2）由f（x）≥-2便可得出$x+\frac{2}{x-1}≥2$，化簡，通分便可得出$\frac{{x}^{2}+x}{x-1}≥0$，根據(jù)穿根法即可求得該不等式的解集．

解答 解：（1）$f（x）=（x-1）+\frac{2}{x-1}+1$且x-1＞0；
∴f（x）$≥2\sqrt{（x-1）\frac{2}{x-1}}+1=2\sqrt{2}+1$；
當(dāng)且僅當(dāng)$x-1=\frac{2}{x-1}$，即$x=\sqrt{2}+1$時，函數(shù)f（x）取得最小值$2\sqrt{2}+1$；
（2）$f（x）=x+\frac{2}{x-1}≥-2$$?x+2+\frac{2}{x-1}≥0$$?\frac{{{x^2}+x}}{x-1}≥0$$?\left\{\begin{array}{l}x（x+1）（x-1）≥0\\ x≠1\end{array}\right.$；
由標(biāo)根法得：原不等式的解集為{x|-1≤x≤0或x＞1}．

點評 本題考查函數(shù)最值的定義及求法，基本不等式求最值的方法，以及分式不等式的解法，會用標(biāo)根法．