Question

19．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（1）證明：CD⊥面PAD；
（2）求直線AC與PB所成的角；
（3）求點(diǎn)P到平面MAC的距離．

Answer 1

分析 （1）利用直角梯形的性質(zhì)可得：CD⊥AD．利用PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明．
（2）如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD為X軸，AB為Y軸，AP為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量夾角公式即可得出．
（3）設(shè)平面MAC的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，利用 $\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow n=0}\\{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow n=0}\end{array}}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用點(diǎn)P到平面MAC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）證明；∵四棱錐P-ABCD底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又AD∩PA=A．
∴CD⊥面PAD．
（2）解：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0）．
∵M(jìn)是PB的中點(diǎn)，∴$M（{0，1，\frac{1}{2}}）$，
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），
∴$cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}＞$=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直線AC與PB所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
（3）解：設(shè)平面MAC的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
∵$\overrightarrow{MA}$=$（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MC}$=$（1，0，-\frac{1}{2}）$．
由 $\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow n=0}\\{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow n=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y+\frac{1}{2}z=0}\\{x-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow n=（{1，-1，2}）$．
∵$\overrightarrow{PA}=（{0，0，-1}）$，
∴點(diǎn)P到平面MAC的距離$d=\frac{{|{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{|{-2}|}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、異面直線所成的角、直角梯形的性質(zhì)、法向量的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．