Question

2．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中已知AB=AC=AA₁=2，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，異面直線A₁C₁與BC成角為45°．
（1）求證：AA₁⊥BC；
（2）求二面角B-AA₁-C的余弦值；
（3）求直線A₁B于平面A₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知△ABA₁，△ACA₁為等邊三角形，取AA₁中點D，連結BD，CD，則可證AA₁⊥平面BCD，于是AA₁⊥BC；
（2）由AA₁⊥BD，AA₁⊥CD可知∠BDC為所求二面角的平面角，求出BD，CD，BC，在△BCD中使用余弦定理得出cos∠BDC；
（3）根據V${\;}_{B-{A}_{1}CD}$=V${\;}_{{A}_{1}-BCD}$求出B到平面A₁CD的距離h，則直線A₁B于平面A₁AC所成角的正弦值為$\frac{h}{{A}_{1}B}$．

解答 解：（1）證明：∵AB=AC=AA₁，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，
∴△ABA₁，△ACA₁是等邊三角形．
取AA₁中點D，連結BD，CD，則BD⊥AA₁，CD⊥AA₁，
又BD?平面BCD，CD?平面BCD，BD∩CD=D，
∴AA₁⊥平面BCD．又BC?平面BCD，
∴AA₁⊥BC．
（2）由（1）可知AA₁⊥BD，AA₁⊥CD，
∴∠BDC為二面角B-AA₁-C的平面角，
∵等邊三角形ABA₁，ACA₁的邊長為2，
∴BD=CD=$\sqrt{3}$，
∵AC∥A₁C₁，
∴∠ACB為異面直線A₁C₁與BC成角，即∠ACB=45°，
又AB=AC=2，∴BC=2$\sqrt{2}$．
在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC=$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD•CD}$=$\frac{3+3-8}{2•\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{3}$．
二面角B-AA₁-C的余弦值為-$\frac{1}{3}$．
（3）設B到平面A₁CD的距離為h，則V${\;}_{B-{A}_{1}CD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}CD}•h$，
又V${\;}_{B-{A}_{1}CD}$=V${\;}_{{A}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{A}_{1}D$，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}CD}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{A}_{1}D$，
∵S${\;}_{△{A}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}{A}_{1}D×CD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△BCD=$\frac{1}{2}CD×BD×sin∠BDC$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}h=\sqrt{2}×1$，∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴直線A₁B于平面A₁AC所成角的正弦值為$\frac{h}{{A}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，空間角與空間距離的計算，屬于中檔題．