Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對(duì)角線(xiàn)與的交點(diǎn)為，四邊形為梯形，，.

（1）若，求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）若，求與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)四邊形的性質(zhì)，證得，利用線(xiàn)面平行的判定，即可證得平面.

（2）由四邊形為菱形，證得，又由，證得，利用線(xiàn)面垂直的判定定理，證得平面，再由面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.

（3）作于，得到為于平面所成的角，在在中，利用余弦定理，即可求解.

（1）取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>是菱形的對(duì)角線(xiàn)與的交點(diǎn)，所以，且，

又因?yàn)?/span>，且，所以，且，

從而四邊形為平行四邊形，所以.

又平面，平面，平面.

（2）因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以；

因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以，

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（3）作于，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面 ，

平面，所以平面，則為于平面所成的角.

由及四邊形為菱形，得為正三角形，

則，.

又，所以為正三角形，從而.

在中，得，

所以與平面所成角的余弦值為.