Question

14．如圖，某房產(chǎn)開發(fā)商計劃在一正方形土地ABCD內(nèi)建造一個三角形住宅區(qū)，在其余土地種植綠化，住宅區(qū)形狀為三角形APQ，其中P位于邊CB上，Q位于邊CD上．已知，∠PAQ=$\frac{π}{4}$，設(shè)∠PAB=θ，記綠化率L=1-$\frac{△PAQ面積}{正方形ABCD面積}$，若L越大，則住宅區(qū)綠化越好．
（1）求L（θ）關(guān)于θ的函數(shù)解析式；
（2）問當(dāng)θ取何值時，L有最大值？并求出L的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正方形的邊長為a，由解直角三角形的余弦函數(shù)，求得AP，AQ，運(yùn)用三角形的面積公式和正方形的面積，即可得到所求函數(shù)L的解析式，注意定義域；
（2）由正弦函數(shù)的值域，可得2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，計算即可得到所求最大值及相應(yīng)的θ的取值．

解答 解：（1）設(shè)正方形的邊長為a，
在直角三角形APB中，AP=$\frac{AB}{cosθ}$=$\frac{a}{cosθ}$，
在直角三角形ADQ中，
AQ=$\frac{AD}{cos∠DAQ}$=$\frac{a}{cos（\frac{π}{4}-θ）}$，
可得L（θ）=1-$\frac{△PAQ面積}{正方形ABCD面積}$=1-$\frac{\frac{1}{2}AP•AQ•sin\frac{π}{4}}{{a}^{2}}$
=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1}{2cosθcos（\frac{π}{4}-θ）}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1}{2cosθ•\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）}$
=1-$\frac{1}{2co{s}^{2}θ+2sinθcosθ}$=1-$\frac{1}{1+sin2θ+cos2θ}$
=1-$\frac{1}{1+\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）}$，0≤θ≤$\frac{π}{4}$，
（2）由（1）可得L（θ）=1-$\frac{1}{1+\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）}$，0≤θ≤$\frac{π}{4}$，
由2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{8}$∈[0，$\frac{π}{4}$]時，
L（θ）取得最大值，且為1-$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$．
則當(dāng)θ取$\frac{π}{8}$[時，L有最大值2-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式和最值的求法，注意運(yùn)用三角形的面積公式和三角函數(shù)的恒等變換公式，以及正弦函數(shù)的值域，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．