Question

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD，ABCD是菱形，三角形APD是等邊三角形，E是PD中點(diǎn)
（1）判斷PB與平面ACE的關(guān)系，并說明理由．
（2）當(dāng)PB⊥AC時，證明：平面ACE⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O，則O為BD中點(diǎn)，故而OE∥PB，于是PB∥平面ACE；
（2）由AC⊥BD，AC⊥PB得出AC⊥平面PBD，故而AC⊥PD，結(jié)合AE⊥PD得出PD⊥平面ACE，故而平面ACE⊥平面PAD．

解答 解：（1）PB∥平面ACE．
證明：連接BD交AC于O，連接OE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴O是BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，
∴OE∥PB．又OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（2）∵四邊形ABCD的菱形，
∴AC⊥BD．
又AC⊥PB，PB?平面PBD，BD?平面PBD，PB∩BD=B，
∴AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，
∴AC⊥PD．
∵△APD是等邊三角形，E是PD中點(diǎn)，
AE⊥PD．
又AC?平面ACE，AE?平面ACE，AC∩AE=A，
∴PD⊥平面ACE，又PD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ACE．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．