Question

16．已知拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y=ax²+（1-a）x+1-2a（a為常數(shù)且不為0），無(wú)論a為何值，上述拋物線(xiàn)始終經(jīng)過(guò)x軸上的一定點(diǎn)A與第一象限內(nèi)的另一定點(diǎn)B．
（1）如圖1，當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求a的值；
（2）請(qǐng)寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A（-1，0），B（2，3）；
（3）如圖2，當(dāng)a＜0時(shí)，若上述拋物線(xiàn)頂點(diǎn)是D，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)C，且點(diǎn)A，B，C，D中沒(méi)有兩個(gè)點(diǎn)相互重合．
①△ABC能否是直角三角形，為什么？
②若使得△ABD是直角三角形，請(qǐng)你求出a的值（求出1個(gè)a的值即可）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得判別式為0，解方程可得a的值；
（2）由y=ax²+（1-a）x+1-2a可得，a（x²-x-2）+（1+x-y）=0，即為x²-x-2=0，1+x-y=0，解方程可得定點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（3）①若△ABC是直角三角形，即有B為直角頂點(diǎn)．設(shè)出C的坐標(biāo)，由兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為-1，計(jì)算即可得到結(jié)論；
②若使得△ABD是直角三角形，即有D為直角頂點(diǎn)，由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a的值．

解答 解：（1）由題意可得判別式為0，即有△=（1-a）²-4a（1-2a）=0，
解得a=$\frac{1}{3}$；
（2）由y=ax²+（1-a）x+1-2a可得，
a（x²-x-2）+（1+x-y）=0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2=0}\\{x+1=y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$；即A（-1，0），B（2，3）
故答案為：-1，2，3．
（3）①若△ABC是直角三角形，即有B為直角頂點(diǎn)．
設(shè)C（c，0），又A（-1，0），B（2，3），
由AB⊥BC，可得k_AB•k_BC=-1，
即為$\frac{3-0}{2+1}$•$\frac{3}{2-c}$=-1，解得c=5，
由f（5）=0，可得25a+5（1-a）+1-2a=0，
解得a=-$\frac{1}{3}$＜0，故存在△ABC是直角三角形；
②若使得△ABD是直角三角形，即有D為直角頂點(diǎn)，
由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得D（$\frac{a-1}{2a}$，$\frac{6a-9{a}^{2}-1}{4a}$），
由AD⊥BD，可得k_AD•k_BD=-1，即有$\frac{\frac{6a-9{a}^{2}-1}{4a}}{\frac{a-1}{2a}+1}$•$\frac{\frac{6a-9{a}^{2}-1}{4a}-3}{\frac{a-1}{2a}-2}$=-1，化簡(jiǎn)可得81a4-54a2+5=0，
解得a=-$\frac{1}{3}$或-$\frac{\sqrt{5}}{3}$（正的舍去）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同時(shí)考查兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為-1，曲線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．