Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A，B，C三點滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
（1）求證：A，B，C三點共線，并求$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$的值；
（2）設(shè)A（1，sinx），B（1+cosx，2sinx），x∈R，求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值．
（3）若A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且函數(shù)g（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+（2m+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|的最小值為$\frac{1}{2}$，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）求證：A、B、C三點共線，可證由三點組成的兩個向量共線，由題設(shè)條件不難得到，變形即可得到兩向量模的比值；
（2）由向量的數(shù)量積的運算，得到f（x）=-2（cosx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{25}{3}$，根據(jù)三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值；
（3）由向量的數(shù)量積的運算，模的計算，得到g（x）=（cosx+m）²+1-m²，判斷其最值取到的位置，令其最小值為$\frac{1}{2}$，由參數(shù)即可，

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{BA}$，
∵$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BA}$有公共點A，
∴A，B，C三點共線．
∵$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AC}$），
∴5$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BC}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$=$\frac{2}{5}$；
（2）∵A（1，sinx），B（1+cosx，2sinx），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1+cosx+2sin²x=-2cos²x+cosx+3=-2（cosx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{25}{3}$，
∵-1≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx=$\frac{1}{4}$，f（x）_max=$\frac{25}{3}$；
（3）∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜cosx≤1，
∵A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{5}{3}$（1，cosx）-$\frac{2}{3}$（1+cosx，cosx）=（1-$\frac{2}{3}$cosx，cosx），|$\overrightarrow{AB}$|²=cos²x，
∴g（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+（2m+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|=1-$\frac{2}{3}$cosx+cos²x+（2m+$\frac{2}{3}$）cosx=（cosx+m）²+1-m²，
當(dāng)m＜0時，當(dāng)cosx=0時，f（x）取最小值1與已知相矛盾；
當(dāng)0≤m≤1時，當(dāng)cosx=m時，f（x）取最小值1-m²，得1-m²=$\frac{1}{2}$，解得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)m＞1時，當(dāng)cosx=1時，f（x）取得最小值2-2m=$\frac{1}{2}$，解得m=$\frac{3}{4}$（舍去），
綜上所述，m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查三點共線的證明方法及三角函數(shù)的最值的運用向量與三角相結(jié)合，綜合性較強，屬于中檔題．