Question

16．已知函數(shù)y=log_a（x+4）-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$的最小值為12．

Answer 1

分析 由已知求出A的坐標，代入mx+ny+1=0，得到3m+n=1．則$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$）（3m+n），展開后利用基本不等式求最值．

解答 解：由x+4=1，得x=-3，
∴函數(shù)y=log_a（x+4）-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A（-3，-1），
則-3m-n+1=0，即3m+n=1．
∴$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$）（3m+n）=6+$\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}$$≥6+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}=12$．
當且僅當3m=n，即m=$\frac{1}{6}，n=\frac{1}{2}$時等號成立．
故答案為：12．

點評 本題考查函數(shù)恒過定點問題，考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是對1的靈活運用，是基礎(chǔ)題．