Question

20．已知函數(shù)f（x）=（x+1）e^x和函數(shù)g（x）=（e^x-a）（x-1）²（a＞0）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）若函數(shù)g（x）存在極值為2a²，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可判斷函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）根據(jù)函數(shù)的極值，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可求a的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=（x+1）e^x，
∴f′（x）=e^x+（x+1）e^x=（x+2）e^x，
由f′（x）＞0得（x+2）e^x＞0，
即x+2＞0，得x＞-2，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-2，+∞）．
由f′（x）＜0得x＜-2，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2）．
（2）g′（x）=e^x（x-1）²+（e^x-a）（2x-2）=（x-1）（xe^x+e^x-2a）=（x-1）（f（x）-2a），
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=（x+1）e^x≤0，
①當(dāng)0＜a＜e時(shí)，由（1）得f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（-1）-2a＜0，f（1）-2a=2e-2a＞0，
則?唯一x₀∈（-1，1），使f（x₀）=0，
當(dāng)x∈（-∞，x₀）時(shí)，f（x）-2a＜0，故g′（x）＞0，
當(dāng)x∈（x₀，1）時(shí)，f（x）-2a＞0，故g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）-2a＞0，故g′（x）＞0，
故當(dāng)x=x₀時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值．
②當(dāng)a=e時(shí)，由（1）得f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）-2a=0，
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f（x）-2a＜0，故g′（x）＞0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）-2a＞0，故g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）無(wú)極值．
③當(dāng)a＞e時(shí)，由（1）得f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）-2a=2e-2a＜0，
f（lna）-2a=a（lna+1）-2a=a（lna-1）＞0，
則?唯一x₀∈（1，lna），使f（x₀）=0，
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f（x）-2a＜0，故g′（x）＞0，
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，f（x）-2a＜0，故g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，f（x）-2a＞0，故g′（x）＞0，
故當(dāng)x=x₀時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值．
綜上當(dāng)a∈（0，e）∪（e，+∞）時(shí)，g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
當(dāng)a=e時(shí)，g（x）無(wú)極值點(diǎn)．
（3）由（2）知當(dāng)0＜a＜e時(shí)，∵g（1）=0≠$\frac{1}{2}$，
故g（x₀）=（e${\;}^{{x}_{0}}$-a）（x₀-1）²=2a²，①
由f（x₀）=0得a=$\frac{（{x}_{0}+1）{e}^{{x}_{0}}}{2}$，代入①得（e${\;}^{{x}_{0}}$-$\frac{（{x}_{0}+1）{e}^{{x}_{0}}}{2}$）（x₀-1）²=2[$\frac{（{x}_{0}+1）{e}^{{x}_{0}}}{2}$]²，
整理得（1-x₀）³-（1+x₀）²e${\;}^{{x}_{0}}$-=0，
設(shè)h（x）=（1-x）³-（1+x）²e^x，-1＜x＜1，
∵h(yuǎn)′（x）=-3（1-x）²-（x+3）（1+x）e^x，
∴當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（0）=0，
∴x₀=0，a=$\frac{（{x}_{0}+1）{e}^{{x}_{0}}}{2}$=$\frac{1}{2}$∈（0，e）符號(hào)題意，
當(dāng)a＞e時(shí)，∵g（x₀）＜g（1）=0＜2a²，
∴不存在符合題意的a，
綜上當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）存在極值等于2a²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．，對(duì)于參數(shù)要進(jìn)行分類討論，綜合性較強(qiáng)，難度較大．