Question

4．已知直線x-y+1=0與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$=1（ab＜0）相交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點），則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 將直線方程代入雙曲線的方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得a和b的關(guān)系，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{b+a}{ab}$=2．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{a}+\frac{{y}^{2}}=1}\end{array}\right.$，（ab＜0）
整理得：（a+b）x²+2ax+a-ab=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2a}{a+b}$，x₁x₂=$\frac{a-ab}{a+b}$，
y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=$\frac{b-ab}{a+b}$，
由OP⊥OQ，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{a-ab}{a+b}$+$\frac{b-ab}{a+b}$=0，即$\frac{2ab}{a+b}$=1，則$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{b+a}{ab}$=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$=2，
故選：C．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．