Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax+blnx在點(diǎn)（1，a）處的切線方程為y=-x+3．
①求a，b的值；
②求函數(shù)$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}$在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最值．

Answer 1

分析 ①求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，由已知切線方程，可得a，b方程組，即可得到a，b的值；
 ②求出g（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和端點(diǎn)函數(shù)值，及極小值即為最小值，比較端點(diǎn)函數(shù)值可得最大值．

解答 解：①函數(shù)f（x）=ax+blnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a+$\frac{x}$，
可得在點(diǎn)（1，a）處的切線斜率為k=a+b，
由切線方程y=-x+3，可得
a+b=-1，a=-1+3=2，
解得a=2，b=-3；
 ②函數(shù)$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}$=2x-3lnx-$\frac{1}{x}$，
g′（x）=2-$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
則由$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；
由1＜x＜2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
由g（$\frac{1}{2}$）=1-3ln$\frac{1}{2}$-2=-1+3ln2，
g（1）=2-3ln1-1=1，g（2）=4-3ln2-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$-3ln2．
g（2）-g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}$-6ln2＞0，
可得g（x）的最小值為1，最大值為$\frac{7}{2}$-3ln2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線斜率和單調(diào)區(qū)間、最值，考查方程思想，運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．