Question

6．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，$C{C_1}=2\sqrt{2}$，E為棱CC₁的中點，則直線AC₁與平面BDE的距離為1．

Answer 1

分析 先利用線面平行的判定定理證明直線C₁A∥平面BDE，再將線面距離轉化為點面距離，最后利用等體積法求點面距離即可．

解答 解：如圖：連接AC，交BD于O，在三角形CC₁A中，易證OE∥C₁A，
從而C₁A∥平面BDE，
∴直線AC₁與平面BED的距離即為點A到平面BED的距離，設為h，
在三棱錐E-ABD中，V_E-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD×EC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×$\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
在三棱錐A-BDE中，BD=2$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{6}$，DE=$\sqrt{6}$，
∴S_△EBD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{6-2}$=2
∴V_A-BDE=$\frac{1}{3}$×S_△EBD×h=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{2}$×h=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴h=1
故答案為：1．

點評 本題主要考查了線面平行的判定，線面距離與點面距離的轉化，三棱錐的體積計算方法，等體積法求點面距離的技巧，屬于中檔題