如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點P是圓周上任意一點，求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2．
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分析：把矩形的2條對角線對應的向量分別用向量
PA
，
PB
，
PC
，
PD
來表示，直角三角形中利用向量法求出2條對角線長度的
平方和，即可證得結論成立．
解答：證明：∵
BD
=
PD
-
PB
，
AC
=
PC
-
PA
，
∴|
BD
|2=(
PD
-
PB
)2=|
PD
|2-2
PB
PD
+|
PB
|2，
 |
AC
|2=(
PC
-
PA
)2=|
PC
|2-2
PC
PA
+|
PA
|2，
BD，AC為直徑，故
PD
⊥
PB
，
PA
⊥
PC
?
PD
•
PB
=
PA
•
PC
=0，
∴|
BD
|2+|
AC
|2=|
PA
|2+|
PB
|2+|
PC
|2+|
PD
|2，
即 4r2+4r2 =PA2+PB2+PC2+PD 2=8r2，故命題成立．
點評：本題考查向量在幾何中的應用，利用線段長度的平方等于對應向量的平方．
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x
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