Question

如圖，矩形ABCD內(nèi)接于由函數(shù)y=

x

，y=1-x，y=0圖象圍成的封閉圖形，其中頂點C，D在y=0上，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：由圖，設(shè)A點坐標為(x，

x

)，x∈(0，

3- 5

2

)，則B(1-

x

，

x

)，由圖可得1-

x

＞x，記矩形ABCD的面積為S，易得S的表達式，利用換元法得到函數(shù)S=-t³-t²+t下面利用導(dǎo)數(shù)工具研究其最值，從而得出矩形ABCD面積的最大值．

解答：解：由圖，設(shè)A點坐標為(x，

x

)，x∈(0，

3- 5

2

)，則B(1-

x

，

x

)，由圖可得1-

x

＞x，記矩形ABCD的面積為S，易得S=AB•AD=(1-

x

-x)

x

=-(

x

)3-(

x

)2+

x

令t=

x

，t∈(0，

5 -1

2

)，得S=-t³-t²+t
所以S′=-3t²-2t+1=-（3t-1）（t+1），令S'=0，得t=

1

3

或t=-1，
因為t∈(0，

5 -1

2

)，所以t=

1

3

．S'，S隨t的變化情況如下表：

t	(0， 1 3 )	1 3	( 1 3 ， 5 -1 2 )
S'	+	0	-
S	↗	極大值 5 27	↘

由上表可知，當t=

1

3

，即x=

1

9

時，S取得最大值為

5

27

，所以矩形ABCD面積的最大值為

5

27

．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要是幫助學生經(jīng)歷根據(jù)問題的條件和要求建立函數(shù)的解析式及確定定義域再研究函數(shù)的變化狀態(tài)的思維過程．