精英家教網 > 高中數(shù)學 > 題目詳情

如圖，矩形ABCD內接于由函數(shù) $數(shù)學公式$ 圖象圍成的封閉圖形，其中頂點C，D在y=0上，求矩形ABCD面積的最大值．

解：由圖，設A點坐標為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ，由圖可得 $\text{[math]}$ ，記矩形ABCD的面積為S，易得 $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，得S=-t³-t²+t
所以S′=-3t²-2t+1=-（3t-1）（t+1），令S'=0，得 $\text{[math]}$ ，
因為 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．S'，S隨t的變化情況如下表：

t	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
S'	+	0	-
S	↗	極大值 $\text{[math]}$	↘

由上表可知，當 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 時，S取得最大值為 $\text{[math]}$ ，所以矩形ABCD面積的最大值為 $\text{[math]}$ ．
分析：由圖，設A點坐標為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ，由圖可得 $\text{[math]}$ ，記矩形ABCD的面積為S，易得S的表達式，利用換元法得到函數(shù)S=-t³-t²+t下面利用導數(shù)工具研究其最值，從而得出矩形ABCD面積的最大值．
點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應用，主要是幫助學生經歷根據(jù)問題的條件和要求建立函數(shù)的解析式及確定定義域再研究函數(shù)的變化狀態(tài)的思維過程．

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