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A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=．
（1）求逆矩陣A-1；
（2）若矩陣X滿足，試求矩陣X．
C．坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：ρcos（θ+）=2與曲線C2：
，（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數，求證：．

【答案】分析：A、證明△PDF∽△POC，由于有公共角∠P，證明∠PFD=∠OCP即可；
B．（1）設A-1=，利用A-1A=E，即可求得；（2）利用（1）的逆矩陣可求；
C、先將極坐標方程化為普通方程，再將這兩個方程聯(lián)立，消去x，得y2-4y-16=0，再由韋達定理研究；
D、利用基本不等式證明，，，即可證得結論．
解答：A、證明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
∴∠PFD=∠OCP
在△PDF與△POC中，∠P=∠P，∠PFD=∠OCP，∴△PDF∽△POC；
B．解：（1）設A-1=，則==．
∴，解得，∴A-1=．
（2）．
C．證明：曲線C1的直角坐標方程x-y=4，曲線C2的直角坐標方程是拋物線y2=4x，
設A（x1，y1），B（x2，y2），將這兩個方程聯(lián)立，消去x，得y2-4y-16=0
∴y1y2=-16，y1+y2=4，
∴x1x2+y1y2=（y1+4）（y2+4）+y1y2=2y1y2+4（y1+y2）+16=0
∴，∴OA⊥OB
D． 證明：因為x，y，z都是為正數，所以
同理可得，，當且僅當x=y=z時，以上三式等號都成立
將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得
點評：本題考查選講內容，考查知識點多，綜合性強，用到知識多，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網A．（不等式選講選做題）若不等式|x+1|+|x-2|＜a無實數解，則a的取值范圍是
 

B．（幾何證明選做題）如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是AB延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連接AC，若∠CPA=30°，PC=
 

C．（極坐標參數方程選做題）曲線
x=cosα
y=1+sinα
（a為參數）與曲線ρ2-2ρcosθ=0的交點個數為
 
個．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選做題）不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是
{x|x≥1}
{x|x≥1}
．
B．（幾何證明選做題） 如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，若∠CAP=30°，則PC=
3
3
3
3
．
C．（極坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，已知曲線ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，則實數a的值為
2或-8
2或-8
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分．）
A．設函數f（x）=|2x+1|-|x-4|．則不等式f（x）＞2的解集為
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
；
B．（坐標系與參數方程選做題）曲線C：
x=-2+2cosα
y=2sinα
（α為參數），若以點O（0，0）為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，則該曲線的極坐標方程是
ρ=-4cosθ
ρ=-4cosθ
．

C．（幾何證明選講選做題） 如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，弧AE=弧AC，DE交AB于F，且AB=2BP=4，則PF=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=
.
1-2
3-7
.
．
（1）求逆矩陣A-1；
（2）若矩陣X滿足AX=
3
1
，試求矩陣X．
C．坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：ρcos（θ+
π
4
）=2
2
與曲線C2：
x=4t2
y=4t
，（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數，求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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