Question

A．如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=

.

1 -2 3 -7

.

．
（1）求逆矩陣A^-1；
（2）若矩陣X滿足AX=

3 1

，試求矩陣X．
C．坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C₁：ρcos（θ+

π

4

）=2

2

與曲線C₂：

x=4t2 y=4t

，（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數，求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

分析：A、證明△PDF∽△POC，由于有公共角∠P，證明∠PFD=∠OCP即可；
B．（1）設A^-1=

a b c d

，利用A^-1A=E，即可求得；（2）利用（1）的逆矩陣可求；
C、先將極坐標方程化為普通方程，再將這兩個方程聯(lián)立，消去x，得y²-4y-16=0，再由韋達定理研究；
D、利用基本不等式證明

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

，

z

xy

+

y

zx

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，即可證得結論．

解答：A、證明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
∴∠PFD=∠OCP
在△PDF與△POC中，∠P=∠P，∠PFD=∠OCP，∴△PDF∽△POC；
B．解：（1）設A^-1=

a b c d

，則

a b c d

1 -2 3 -7

=

a+3b -2a-7b c+3d -2c-7d

=

1 0 0 1

．
∴

a+3b=1 -2a-7b=0 c+3d=0 -2c-7d=1

，解得

a=7 b=-2 c=3 d=-1

，∴A^-1=

7 -2 3 -1

．
（2）X=

7 -2 3 -1

3 1

=

19 8

．
C．證明：曲線C₁的直角坐標方程x-y=4，曲線C₂的直角坐標方程是拋物線y²=4x，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將這兩個方程聯(lián)立，消去x，得y²-4y-16=0
∴y₁y₂=-16，y₁+y₂=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=（y₁+4）（y₂+4）+y₁y₂=2y₁y₂+4（y₁+y₂）+16=0
∴

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB
D． 證明：因為x，y，z都是為正數，所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

x

y

+

y

x

)≥

2

z

同理可得

z

xy

+

y

zx

≥

2

x

，

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

，當且僅當x=y=z時，以上三式等號都成立
將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

點評：本題考查選講內容，考查知識點多，綜合性強，用到知識多，屬于中檔題．