Question

15．設(shè)A={x|x²+（2a-3）x-3a=0}，B={x|x²+（a-3）x+a²-3a=0}，若A≠B，A∩B≠∅，試求A∪B．

Answer 1

分析 由題意設(shè)公共根是b，代入兩方程，作差可得b=a，即公共根就是a，進一步代入原方程求解兩集合得答案．

解答 解：∵A∩B≠∅，∴兩個方程有公共根，
設(shè)公共根是b，
則b²+（2a-3）b-3a=0，b²+（a-3）b+a²-3a=0，
兩式相減得：ab-a²=0，即a（b-a）=0．
若a=0，則兩個方程都是x²-3x=0，與A≠B矛盾； 
∴a≠0，則b=a，
∴公共根就是a，
代入x²+（2a-3）x-3a=0，得a²+a（2a-3）-3a=0，
即a²-2a=0，解得a=0（舍），a=2．
∴A={x|x²+x-6=0}={-3，2}，
B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，
∴A∪B={2，-3，-1}．

點評 本題考查交集及其運算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．