Question

5．以下四個命題中，真命題的是（　　）

• A． ?x∈（0，π），使sinx=tanx
• B． “對任意的x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“存在x₀∈R，x₀²+x₀+1＜0”
• C． ?θ∈R，函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函數(shù)
• D． △ABC中，“sinA+sinB=cosA+cosB”是“C=$\frac{π}{2}$”的充要條件

Answer 1

分析 A．根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．
B．根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷．
C．根據(jù)三角函數(shù)奇偶性進行判斷．
D．根據(jù)充分條件和必要條件的定義，利用平方法進行判斷．

解答 解：A．若sinx=tanx，則sinx=tanx=$\frac{sinx}{cosx}$，
∵x∈（0，π），∴sinx≠0，則1=$\frac{1}{cosx}$，即cosx=1，
∵x∈（0，π），∴cosx=1不成立，故?x∈（0，π），使sinx=tanx錯誤，故A錯誤，
B．“對任意的x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“存在x₀∈R，x₀²+x₀+1≤0”，故B錯誤，
C．當θ=$\frac{π}{2}$時，f（x）=sin（2x+θ）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x為偶函數(shù)，故C錯誤，
D．在△ABC中，C=$\frac{π}{2}$，則A+B=$\frac{π}{2}$，
則由sinA+sinB=sin（$\frac{π}{2}$-B）+sin（$\frac{π}{2}$-A）=cosB+cosA，則必要性成立；
∵sinA+sinB=cosA+cosB，
∴sinA-cosA=cosB-sinB，
兩邊平方得sin²A-2sinAcosA+cos²A=sin²B-2sinBcosB+cos²B，
∴1-2sinAcosA=1-2sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
則2A=2B或2A=π-2B，
即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
當A=B時，sinA+sinB=cosA+cosB等價為2sinA=2cosA，
∴tanA=1，即A=B=$\frac{π}{4}$，此時C=$\frac{π}{2}$，
綜上恒有C=$\frac{π}{2}$，即充分性成立，
綜上△ABC中，“sinA+sinB=cosA+cosB”是“C=$\frac{π}{2}$”的充要條件，故D正確，
故選：D

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．考查學生的運算 和推理能力．