【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： =1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，P是橢圓C上任一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于第一象限．直線PA交y軸于點(diǎn)Q，直線PB交y軸于點(diǎn)R．當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，1）時，點(diǎn)R坐標(biāo)為（0，2）

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證： 為定值；
（3）求證：過點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】
（1）解：由題意可得A（﹣a，0），B（a，0），

當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，1）時，點(diǎn)R坐標(biāo)為（0，2），

即有kPA= ，直線PA：y= x+1，

kPB=﹣ ，直線PA：y=﹣ x+2，

解得交點(diǎn)P（ ， ），

代入橢圓方程可得 + =1，

解得a= ，

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1


（2）證明：設(shè)Q（0，s），R（0，t），

由橢圓的方程可得A（﹣ ，0），B（ ，0），

即有直線PA：y= x+s，直線PB的方程為y=﹣ x+t，

解得交點(diǎn)P（ ， ），

代入橢圓方程可得 + =1，

化簡可得st=2，

即有 =st=2為定值；


（3）證明：由（2）可得st=2，即t= ，

直線QB的斜率為k=﹣ ，

即有過點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線方程為y= x+t，

即為y= ，令x=﹣ ，可得y=0，

則過點(diǎn)R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過定點(diǎn)，坐標(biāo)為（﹣ ，0）


【解析】（1）求得A，B的坐標(biāo)，直線PA，PB的方程，求交點(diǎn)P，代入橢圓方程，解方程，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)Q（0，s），R（0，t），求得直線PA，PB的方程，求交點(diǎn)P，代入橢圓方程，化簡整理可得st=2，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得定值；（3）求得QB的斜率，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，求得垂線的方程，由st=2，代入，結(jié)合直線恒過定點(diǎn)的求法，可得定點(diǎn)．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=2sin2（ +x）﹣ cos2x﹣1，x∈R，若函數(shù)k（x）=f（x+a）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣ ，0）對稱，且α∈（0，π），則α=（ ）
A.
B.
C.
D.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，D是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是滿足不等式組 的點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在E中的概率是 ．

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【題目】如圖，江的兩岸可近似的看成兩平行的直線，江岸的一側(cè)有A，B兩個蔬菜基地，江的另一側(cè)點(diǎn)C處有一個超市．已知A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為20千米．超市欲在AB之間建一個運(yùn)輸中轉(zhuǎn)站D，A，B兩處的蔬菜運(yùn)抵D處后，再統(tǒng)一經(jīng)過貨輪運(yùn)抵C處．由于A，B兩處蔬菜的差異，這兩處的運(yùn)輸費(fèi)用也不同．如果從A處出發(fā)的運(yùn)輸費(fèi)為每千米2元，從B處出發(fā)的運(yùn)輸費(fèi)為每千米1元，貨輪的運(yùn)輸費(fèi)為每千米3元．

（1）設(shè)∠ADC=α，試將運(yùn)輸總費(fèi)用S（單位：元）表示為α的函數(shù)S（α），并寫出自變量的取值范圍；
（2）問中轉(zhuǎn)站D建在何處時，運(yùn)輸總費(fèi)用S最�。坎⑶蟪鲎钚≈担�

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【題目】設(shè)x∈R，y∈R，若復(fù)數(shù)(x2＋y2－4)＋(x－y)i是純虛數(shù)，則點(diǎn)(x，y)的軌跡是(　　)

A. 以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓

B. 兩個點(diǎn)，其坐標(biāo)為(2，2)，(－2，－2)

C. 以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓和過原點(diǎn)的一條直線

D. 以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，并且除去兩點(diǎn)(，)，(－，－)

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【題目】在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線過點(diǎn)A（ ， ），B（3， ），且直線與曲線C：ρ=2rsinθ（r＞0）有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)r的值．

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【題目】已知恒等式（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n ．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值；
（2）當(dāng)n≥6時，求證： a2+2A a3+…+22n﹣2 a2n＜49n﹣2 ．

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（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（2）若對于任意的x∈[0， ]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有兩個零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2） 若，直線交曲線于、兩點(diǎn)（點(diǎn)、與點(diǎn)不重合），且滿足.為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，證明直線過定點(diǎn)，并求直線的斜率的取值范圍.

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