8．設(shè)p為正整數(shù)，證明：若p不是完全平方數(shù)，則$\sqrt{p}$是無理數(shù)．

分析 根據(jù)反證法的步驟，先假設(shè)相反的結(jié)論，再推出與已知條件相矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，肯定結(jié)論．

解答 證明：假設(shè)$\sqrt{p}$是有理數(shù)，則存在互素的正整數(shù)m和n使得$\sqrt{p}$=$\frac{m}{n}$，
所以p=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，所以m2=pn2，所以m必為p的倍數(shù)．
設(shè)m=pk 則p2k2=pn2，所以pk2=n2，所以n也必是p的倍數(shù)，
這與正整數(shù)m和n互素矛盾．
綜上所述，若p不是完全平方數(shù)，則$\sqrt{p}$是無理數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．

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