Question

3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=btanA，且B為鈍角．
（1）求B-A的值；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理、商的關(guān)系化簡已知的式子，由條件和誘導(dǎo)公式求出B-A的值；
（2）由（1）求出C和A的范圍，由誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式變形化簡，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出式子的范圍．

解答 解：（1）由題意得a=btanA，
∴由正弦定理得$sinA=sinB•\frac{sinA}{cosA}$，則sinB=cosA，
∵B為鈍角，∴B=$\frac{π}{2}+A$，
∴B-A=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）知C=π-（A+B）=π-（A+$\frac{π}{2}$+A）=$\frac{π}{2}$-2A＞0，
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{π}{2}$-2A）
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin²A
=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{4}$），∴0＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由二次函數(shù)可知，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$≤$\frac{9}{8}$，
∴sinA+sinC的取值范圍為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$]

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，以及換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式和定理是解題的關(guān)鍵．