【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點E是BC邊的中點,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.
(Ⅰ)求證:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=1,二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值為 ,求二面角B﹣AD﹣E的余弦值.

【答案】(Ⅰ)解:因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,

又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD.

因為AB平面ABD,所以DC⊥AB.

又因為折疊前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,

所以AB⊥平面ADC

(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB⊥平面ADC,所以二面角C﹣AB﹣D的平面角為∠CAD.

又DC⊥平面ABD,AD平面ABD,所以DC⊥AD.

依題意

因為AD=1,所以

設(shè)AB=x(x>0),則

依題意△ABD~△BDC,所以 ,即

解得 ,故

如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,

則D(0,0,0), ,

,

所以 ,

由(Ⅰ)知平面BAD的法向量

設(shè)平面ADE的法向量

,得 ,

所以

所以

由圖可知二面角B﹣AD﹣E的平面角為銳角,

所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值為


【解析】(Ⅰ)證明DC⊥AB.AD⊥AB即可得AB⊥平面ADC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB⊥平面ADC,即二面角C﹣AB﹣D的平面角為∠CAD二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值為 ,解得AB,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,求出平面BAD的法向量 ,平面ADE的法向量,即可得二面角B﹣AD﹣E的余弦值
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義:如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在x0(a<x0<b),滿足f(x0)= ,則稱函數(shù)y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,x0是它的一個均值點.例如y=|x|是[﹣2,2]上的平均值函數(shù),0就是它的均值點.若函數(shù)f(x)=x2﹣mx﹣1是[﹣1,1]上的“平均值函數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn , 則下列四個命題中,錯誤的是(
A.若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列{ }的公差為 的等差數(shù)列
B.若數(shù)列{ }是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列{an}是公差為2d的等差數(shù)列
C.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列的奇數(shù)項,偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列
D.若數(shù)列{an}的奇數(shù)項,偶數(shù)項分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列,則{an}是等差數(shù)列

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知不等式ln(x+1)﹣1≤ax+b對一切x>﹣1都成立,則 的最小值是(
A.e﹣1
B.e
C.1﹣e3
D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】以下四個命題中其中真命題個數(shù)是( ) ①為了了解800名學(xué)生的成績,打算從中抽取一個容量為40的樣本,考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔k為40;
②線性回歸直線 = x+ 恒過樣本點的中心( , );
③隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若在(﹣∞,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則在(2,3)內(nèi)的概率為0.4;
④若事件M和N滿足關(guān)系P(M∪N)=P(M)+P(N),則事件M和N互斥.
A.0
B.1
C.2
D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】4月23日是世界讀書日,為提高學(xué)生對讀書的重視,讓更多的人暢游于書海中,從而收獲更多的知識,某高中的校學(xué)生會開展了主題為“讓閱讀成為習(xí)慣,讓思考伴隨人生”的實踐活動,校學(xué)生會實踐部的同學(xué)隨即抽查了學(xué)校的40名高一學(xué)生,通過調(diào)查它們是喜愛讀紙質(zhì)書還是喜愛讀電子書,來了解在校高一學(xué)生的讀書習(xí)慣,得到如表列聯(lián)表:

喜歡讀紙質(zhì)書

不喜歡讀紙質(zhì)書

合計

16

4

20

8

12

20

合計

24

16

40

(Ⅰ)根據(jù)如表,能否有99%的把握認(rèn)為是否喜歡讀紙質(zhì)書籍與性別有關(guān)系?
(Ⅱ)從被抽查的16名不喜歡讀紙質(zhì)書籍的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求抽到男生人數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ).
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
下列的臨界值表供參考:

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閻戣姤鍤勯柤鍝ユ暩娴犳艾鈹戞幊閸婃鎱ㄧ€靛憡宕叉慨妞诲亾闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘劖顏熼梻浣芥硶閸o箓骞忛敓锟� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬崘顕ч埞鎴︽偐閸欏鎮欑紓浣哄閸ㄥ爼寮婚妸鈺傚亞闁稿本绋戦锟�