Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=n-n²（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2^{a_n}}，（{n=2k-1}）\\ \frac{2}{{（{1-{a_n}}）（{1-{a_{n+2}}}）}}，（{n=2k}）\end{array}\right.$（k∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，當(dāng)n≥2時，由2a_n=2S_n-2S_n-1可得）a_n=1-n（n≥2），再檢驗n=1時，是否適合，以確定是分是合，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由$\frac{2}{（1-{a}_{n}）（1-{a}_{n+2}）}=\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$可得T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n），分組求和即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，$2{a_n}=2{S_n}-2{S_{n-1}}=n-{n^2}-[（n-1）-{（n-1）^2}]=2-2n$--------（2分）
即：a_n=1-n（n≥2），-------------------------------------------------------------（3分）
當(dāng)n=1時，由$2{S_1}=1-{1^2}$得a₁=0，-----------------------------------------------（4分）
顯然當(dāng)n=1時上式也適合，
∴a_n=1-n．--------------------------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）∵$\frac{2}{{（1-{a_n}）（1-{a_{n+2}}）}}=\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，------------------------------------（6分）
∴T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）-------------------------------------（7分）
=$（{2^0}+{2^{-2}}+…+{2^{2-2n}}）+[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+…+（\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}）$]---------------------（9分）
=$\frac{{1-{{（\frac{1}{4}）}^n}}}{{1-\frac{1}{4}}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}$---------------------------------------------------------（11分）
=$\frac{11}{6}-\frac{4}{3}•{（\frac{1}{4}）^n}-\frac{1}{2n+2}$．-------------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查裂項法、公式法與分組求和法的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．