Question

5．如圖，將平面直角坐標系中的縱軸繞原點O順時針旋轉30°后，構成一個斜坐標平面xOy．在此斜坐標平面xOy中，點P（x，y）的坐標定義如下：過點P作兩坐標軸的平行線，分別交兩軸于M，N兩點，則M在Ox軸上表示的數為x，N在Oy軸上表示的數為y．那么以原點O為圓心的單位圓在此斜坐標系下的方程為x²+y²+xy-1=0．

Answer 1

分析 過P作PA⊥x，PB⊥y，設P（x，y）在直角坐標系下的坐標為P′（x₀，y₀），建立P′（x₀，y₀）與P（x，y）的坐標關系即可得到結論．

解答 解：過P作PA⊥x，PB⊥y，
設P（x，y）在直角坐標系下的坐標為P′（x₀，y₀），
∵∠BON=30°，ON=y，
∴OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，BN=$\frac{1}{2}y$，
即y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，x₀=x+$\frac{1}{2}y$，
∵P′（x₀，y₀）在單位圓x²+y²=1上，
∴x₀²+y₀²=1，
即（$\frac{\sqrt{3}}{2}$y）²+（x+$\frac{1}{2}y$）²=1，
整理得x²+y²+xy-1=0，
故答案為：x²+y²+xy-1=0．

點評 本題主要考查與直角坐標系有關的新定義問題，根據條件求出P′（x₀，y₀）與P（x，y）的坐標關系是解決本題的關鍵．