Question

1．如圖所示，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE為等邊三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD=BC=$\frac{1}{2}$AB=1，點P為CE中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求DE與平面ABCD所成角的大�。�
（Ⅲ）求三棱錐D-ABP的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點O，連結(jié)OD，OE，由已知可得AB⊥OE，結(jié)合四邊形ABCD是直角梯形，得到OD∥CB，然后利用線面垂直的判定可得AB⊥平面ODE，從而得到AB⊥DE；   
（Ⅱ）由平面ABCD⊥平面ABE，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得OE⊥AB，進(jìn)一步得到OE⊥平面ABCD．得到∠ODEDE與平面ABCD所角，然后求解直角三角形得答案；
（Ⅲ）由P為CE中點，得V_D-ABP=V_P-ABD=$\frac{1}{2}{V}_{E-ABD}$，則三棱錐D-ABP的體積可求．

解答 （Ⅰ）證明：取AB中點O，連結(jié)OD，OE，
∵△ABE是正三角形，∴AB⊥OE．             
∵四邊形ABCD是直角梯形，$DC=\frac{1}{2}AB$，AB∥CD，
∴四邊形OBCD是平行四邊形，OD∥CB，
又AB⊥BC，∴AB⊥OD．                      
∵OD、OE?平面ODE，且OD∩OE=O，
∴AB⊥平面ODE，
∵DE?平面ODE，∴AB⊥DE；                  
（Ⅱ）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OE⊥AB，OE?ABE，
∴OE⊥平面ABCD．
∴∠ODE即為所求，
在△ODE中，OD=1，OE=$\sqrt{3}$，∠DOE=90°，
∴$tan∠ODE=\sqrt{3}$．
又∵∠ODE為銳角，
∴∠ODE=60°；
（Ⅲ）解：∵P為CE中點，
∴V_D-ABP=V_P-ABD=$\frac{1}{2}{V}_{E-ABD}$，
∵OE⊥平面ABCD，
∴${V}_{E-ABD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•OE$=$\frac{1}{3}×\frac{2×1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴${V}_{D-ABP}={V}_{P-ABD}=\frac{1}{2}{V}_{E-ABD}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查面面垂直的性質(zhì)，考查了線面垂直的判定，考查線面角的求法，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．