Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^ax（其中e=2.71828…），$g（x）=\frac{f（x）}{x}$．
（1）若g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到a≥$\frac{1}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，而$\frac{1}{x}$≤1，從而求出a的范圍即可；
（2）將a的值代入g（x），通過討論m的范圍，判斷出g（x）的單調(diào)性，從而求出對(duì)應(yīng)的g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）由題意得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{ax}}{x}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故${（\frac{{e}^{ax}}{x}）}^{′}$=$\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
即ax-1≥0在[1，+∞）恒成立，
a≥$\frac{1}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，而$\frac{1}{x}$≤1，
∴a≥1；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}（\frac{x}{2}-1）}}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在[2，+∞）遞增，
當(dāng)x＜2且x≠0時(shí)，g′（x）＜0，即g（x）在（0，2），（-∞，0）遞減，
又m＞0，∴m+1＞1，
故當(dāng)m≥2時(shí)，g（x）在[m，m+1]上遞增，此時(shí)，g（x）_min=g（m）=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$，
當(dāng)1＜m＜2時(shí)，g（x）在[m，2]遞減，在[2，m+1]遞增，此時(shí)，g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$，
當(dāng)0＜m≤1時(shí)，m+1≤2，g（x）在[m，m+1]遞減，此時(shí)，g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$，
綜上，當(dāng)0＜m≤1時(shí)，g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$，當(dāng)1＜m＜2時(shí)，g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$，m≥2時(shí)，g（x）_min=g（m）=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．