Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)解析式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，即可求出f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ即可求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅲ）由已知可先求得2x+

π

4

的范圍，即可求出函數(shù)f（x）的最小值．

解答： （本題10分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+2cos²x+1=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，…（2分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π．…（4分）
（Ⅱ）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ得 

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z）
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）．…（7分）
（Ⅲ）由x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x∈[-

π

2

，

π

2

]⇒2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．
∴當(dāng)2x+

π

4

=-

π

4

時(shí)，即x=-

π

4

時(shí)，f（x）取得最小值0．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．