如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn). 現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具,它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字. 質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前兩步(如由A到C),當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D). 在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過一圈,則投擲終止.
(1)求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;
(2)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中,用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
分析:(1)投擲一次正方體玩具,每個數(shù)字在上底面出現(xiàn)是等可能的,其概率為
1
3
.分①若投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn)、②若投擲三次質(zhì)點(diǎn)P
恰能返回到A點(diǎn)、③若投擲四次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)三種情況,分別求得它們的概率,再相加,即得所求.
(2)由(1)知,質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種情況,且ξ的可能取值為2,3,4.再求得ξ取每個值的概率,再由數(shù)學(xué)期望
的定義求得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
解答:解:(1)投擲一次正方體玩具,因每個數(shù)字在上底面出現(xiàn)是等可能的,故其概率P1=
2
6
=
1
3

易知只投擲一次不可能返回到A點(diǎn).
①若投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn),則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字,
應(yīng)依次為:(1,3)、(3,1)、(2,2)三種結(jié)果,其概率為P2=(
1
3
2×3=
1
3

②若投擲三次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn),則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字,
應(yīng)依次為:(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三種結(jié)果,其概率為P3=(
1
3
3×3=
1
9

③若投擲四次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn),則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為:(1,1,1,1),
其概率為P4=(
1
3
)4=
1
81

所以,質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為:P=P2+P3+P4=
1
3
+
1
9
+
1
81
=
37
81

(2)由(1)知,質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種情況,
且ξ的可能取值為2,3,4.
則P(ξ=2)=
1
3
37
81
=
27
37
,P(ξ=3)=
1
9
37
81
=
9
37
,P(ξ=4)=
1
81
37
81
=
1
37
,故ξ的分布列為:
 ξ  2  3  4
 P  
27
37
 
9
37
 
1
37
所以,Eξ=2×
27
37
+3×
9
37
+4×
1
37
=
85
37
點(diǎn)評:本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用,求離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn).現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻.每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具,它的六個面上分別寫有兩個1.兩個2.兩個3一共六個數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C),當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D).在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過一圈,則投擲終止.
(1)求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;
(2)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中,用隨機(jī)變量S表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù),求S的數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn).現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具,它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D).在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過一圈,則投擲終止.
求:
(Ⅰ)需要四次投擲,點(diǎn)P恰返回到A點(diǎn)的概率;
(Ⅱ)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分13分) 如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn).現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具,它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)PA點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由AB);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由AC),

當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A).

在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過一圈,則投擲終止.

(Ⅰ)求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;

(Ⅱ)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中,

用隨機(jī)變量表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山西省高三第一次模擬試題理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn).現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具,它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C),當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D).在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過一圈,則投擲終止.

(1)求質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;

(2)在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中,用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù),求ξ的數(shù)學(xué)期望.

 

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