精英家教網(wǎng)如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn).現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻.每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具,它的六個(gè)面上分別寫(xiě)有兩個(gè)1.兩個(gè)2.兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C),當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D).在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過(guò)一圈,則投擲終止.
(1)求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;
(2)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中,用隨機(jī)變量S表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù),求S的數(shù)學(xué)期望.
分析:(1)求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率,首先我們要對(duì)回到A點(diǎn)的情況分類(lèi)討論,由于回到原點(diǎn)最少需要兩次投擲,最多需要四次投擲,故我們可以分兩次、三次、四次,四種情況進(jìn)行討論,計(jì)算出每種情況性質(zhì)的概率,相加即得結(jié)果.
(2)由(1)的結(jié)論我們不難得到ξ的值分別等2,3,4時(shí)的概率,然后我們代入數(shù)學(xué)期望公式即可求解.
解答:解:(Ⅰ)投擲一次正方體玩具,上底面每個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的,其概率為P1=
2
6
=
1
3

因?yàn)橹煌稊S一次不可能返回到A點(diǎn);
若投擲兩次點(diǎn)P就恰能返回到A點(diǎn),
則上底面出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為:
(1,3).(3,1).(2,2)三種結(jié)果,
其概率為P2=(
1
3
)
2
•3
=
1
3

若投擲三次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn),則上底面出現(xiàn)的三個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為:
(1,1,2).(1,2,1).(2,1,1)三種結(jié)果,其概率為P3=(
1
3
)
3
•3
=
1
9

若投擲四次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn),則上底面出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為:(1,1,1,1)
其概率為P4=(
1
3
)
4
=
1
81

所以,點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為P=P2+P3+P4=
1
3
+
1
9
+
1
81
=
37
81

(Ⅱ)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問(wèn)題中的7種,
因?yàn)椋琍(ξ=2)=
3
7
,P(ξ=3)=
3
7
,P(ξ=4)=
1
7

所以,Eξ=2•
3
7
+3•
3
7
+4•
1
7
=
19
7
點(diǎn)評(píng):解決等可能性事件的概率問(wèn)題,關(guān)鍵是要弄清一次試驗(yàn)的意義以及每個(gè)基本事件的含義是解決問(wèn)題的前提,正確把握各個(gè)事件的相互關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.古典概型要求所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,強(qiáng)調(diào)所有結(jié)果中每一結(jié)果出現(xiàn)的概率都相同.同時(shí)(2)中概率、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算也是高考的熱點(diǎn).對(duì)于數(shù)學(xué)期望的計(jì)算則要熟練掌握運(yùn)算方法和步驟.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn).現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具,它的六個(gè)面上分別寫(xiě)有兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D).在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過(guò)一圈,則投擲終止.
求:
(Ⅰ)需要四次投擲,點(diǎn)P恰返回到A點(diǎn)的概率;
(Ⅱ)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn). 現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具,它的六個(gè)面上分別寫(xiě)有兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字. 質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前兩步(如由A到C),當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D). 在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過(guò)一圈,則投擲終止.
(1)求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;
(2)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中,用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本題滿分13分) 如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn).現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具,它的六個(gè)面上分別寫(xiě)有兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)PA點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由AB);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由AC),

當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A).

在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過(guò)一圈,則投擲終止.

(Ⅰ)求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;

(Ⅱ)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中,

用隨機(jī)變量表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年山西省高三第一次模擬試題理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖所示,質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn).現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具,它的六個(gè)面上分別寫(xiě)有兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),規(guī)則如下:當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B);當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C),當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D).在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲,若超過(guò)一圈,則投擲終止.

(1)求質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率;

(2)在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中,用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù),求ξ的數(shù)學(xué)期望.

 

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