Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)的和，且對(duì)于任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
（1）求a₁，a₂的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列b_n=

1

an•an+1

的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的項(xiàng)，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)的和，且對(duì)于任意的n∈N^*，
都有4S_n=（a_n+1）²①．
所以：當(dāng)n=1時(shí)，4S1=(a1+1)2
解得：a₁=1
當(dāng)n=2時(shí)，4S2=(a2+1)2
解得：a₂=3
當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=(an-1+1)2②
所以：①-②得：4an2=(an+1)2-(an-1+1)2
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0=0
所以：a_n-a_n-1=2                
{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
a_n=2n-1                                             
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論b=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．屬于基礎(chǔ)題型．