Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-2lnx．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，由極值的定義，可得極值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x-2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
即有在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率為k=1-2=-1，切點(diǎn)為（1，1），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y-1=-（x-1），
即為y=2-x；
（2）函數(shù)f（x）=x-2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，x＞0，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）的增區(qū)間為（2，+∞），減區(qū)間為（0，2）；
x=2處，f（x）取得極小值，且為2-2ln2，無極大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．