Question

9．已知O是銳角三角形ABC的外接圓圓心，tanA=$\frac{1}{2}$，$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m$\overrightarrow{AO}$，則m=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 取AB的中點D，則$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，從而可得$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{AB}$，從而可得m=$\frac{cosB+cosAcosC}{sinC}$=sinA，從而解得．

解答 解：取AB的中點D，則$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，
代入$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m$\overrightarrow{AO}$得，
$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$），
∵$\overrightarrow{OD}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{AB}$=0；
∴$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{cosB}{sinC}$c²+$\frac{cosC}{sinB}$bcosA=mc²，
由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$化簡可得，
$\frac{cosB}{sinC}$sin²C+$\frac{cosC}{sinB}$sinBsinCcosA=msin²C，
∴m=$\frac{cosB+cosAcosC}{sinC}$=sinA，
又∵tanA=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的運算及解三角形的運算應用，同時考查了數(shù)形結合的思想方法應用，屬于中檔題．