Question

已知f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，-

3

sin2x），

b

=（cosx，1），x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f（A）=-1，a=

7

，且向量

m

=（3，sinB）與

n

=（2，sinC）共線，求邊長b和c的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理,余弦定理

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式得到f（x）的解析式，然后化簡求單調(diào)區(qū)間；
（2）利用向量共線，得到b，c的方程解之．

解答： 解：（1）由題意知f(x)=2cos2x-

3

sin2x=1+cos2x-

3

sin2x=1+2cos(2x+

π

3

)．3分
∵y=cosx在a₂上單調(diào)遞減，∴令2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)，6分
（2）∵f(A)=1+2cos(2A+

π

3

)=-1，∴cos(2A+

π

3

)=-1，又

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，∴2A+

π

3

=π，即A=

π

3

，8分
∵a=

7

，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7.10分
因為向量

m

=(3，sinB)與

n

=(2，sinC)共線，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3c．
∴b=3，c=2.12 分．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積公式的運用以及三角函數(shù)的化簡與性質(zhì)的運用．