Question

15．若不等式x+$\sqrt{xy}$≤a（x+2y）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y都成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}+2}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}+2}{4}$

Answer 1

分析 不等式x+$\sqrt{xy}$≤a（x+2y）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y都成立，化為a≥$\frac{x+\sqrt{xy}}{x+2y}$，令s=$\frac{x+\sqrt{xy}}{x+2y}$=$\frac{1+\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+2•\frac{y}{x}}$，令$\sqrt{\frac{y}{x}}$=t＞0，則s=$\frac{1+t}{1+2{t}^{2}}$，化為2st²-t+s-1=0，根據(jù)上述方程存在正實(shí)數(shù)根，即可得出．

解答 解：∵不等式x+$\sqrt{xy}$≤a（x+2y）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y都成立，
∴a≥$\frac{x+\sqrt{xy}}{x+2y}$，
令s=$\frac{x+\sqrt{xy}}{x+2y}$=$\frac{1+\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+2•\frac{y}{x}}$，
令$\sqrt{\frac{y}{x}}$=t＞0，則s=$\frac{1+t}{1+2{t}^{2}}$，
化為2st²-t+s-1=0，
∵上述方程存在正實(shí)數(shù)根，則$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{\frac{1}{2s}＞0}\\{\frac{s-1}{2s}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{s-1}{2s}＜0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$，或a≥$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$．
∴實(shí)數(shù)a的最小值是$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)、一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．