Question

17．已知α為銳角，則（1+$\frac{1}{sinα}$）（1+$\frac{1}{cosα}$）的最小值是（　�。�

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 3$+2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 由α的范圍和三角函數(shù)可得t=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，sinαcosα=$\frac{1}{2}$（t²-1），換元可得（1+$\frac{1}{sinα}$）（1+$\frac{1}{cosα}$）=1+$\frac{2}{t-1}$，由函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：∵α為銳角，即0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴t=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
平方可得t²=1+2sinαcosα，
∴sinαcosα=$\frac{1}{2}$（t²-1），
∴（1+$\frac{1}{sinα}$）（1+$\frac{1}{cosα}$）=1+$\frac{1}{cosα}$+$\frac{1}{sinα}$+$\frac{1}{sinαcosα}$
=1+$\frac{sinα+cosα+1}{sinαcosα}$=1+$\frac{t+1}{\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）}$=1+$\frac{2}{t-1}$，
∵y=1+$\frac{2}{t-1}$在t∈（1，$\sqrt{2}$]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，原式取最小值1+$\frac{2}{\sqrt{2}-1}$=3+2$\sqrt{2}$
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及換元法和函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．