Question

12．△ABC中，c是a與b的等差中項(xiàng)，sinA，sinB，sinC依次為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和，則cosC的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{9}{16}$
• C． $\frac{11}{16}$
• D． $\frac{13}{16}$

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理，可得a，b，c的關(guān)系，再由余弦定理計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：c是a與b的等差中項(xiàng)，
可得a+b=2c，①
sinA，sinB，sinC依次為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和，
由等比數(shù)列的和的性質(zhì)，可得
sinA，sinB-sinA，sinC-sinB成等比數(shù)列，
可得sinA（sinC-sinB）=（sinB-sinA）²，
由正弦定理可得sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
代入，化簡(jiǎn)可得a（c-b）=（b-a）²，②
由①②可得
a（a+b-2b）=2（b-a）²，
化簡(jiǎn)可得a=b或a=2b，
若a=b，則a=b=c，由等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0，可得a≠b；
則a=2b，c=$\frac{3}{2}$b，
即有cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4^{2}+^{2}-\frac{9}{4}^{2}}{2•2b•b}$=$\frac{11}{16}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．