Question

10．已知數(shù)列{b_n}的前n項和${B_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的通項${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$，求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系即可得出；
（II）${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$=（3n-2）•2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ．設(shè)數(shù)列{（3n-2）•2ⁿ}的前n項和為A_n，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：：（I）∵數(shù)列{b_n}的前n項和${B_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$，∴b₁=B₁=$\frac{3-1}{2}$=1；
當n≥2時，b_n=B_n-B_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，當n=1時也成立．
∴b_n=3n-2．
（II）${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$=（3n-2）•2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ．
設(shè)數(shù)列{（3n-2）•2ⁿ}的前n項和為A_n，
則A_n=2+4×2²+7×2³+…+（3n-2）•2ⁿ，
2A_n=2²+4×2³+…+（3n-5）•2ⁿ+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-2）•2ⁿ⁺¹=$3×\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4-（3n-2）•2ⁿ⁺¹=（5-3n）•2ⁿ⁺¹-10，
∴A_n=（3n-5）•2ⁿ⁺¹+10．
數(shù)列{（-1）ⁿ•2ⁿ}的前n項和=$\frac{-2[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$=$-\frac{2}{3}$[1-（-2）ⁿ]．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和T_n=（3n-5）•2ⁿ⁺¹+10$-\frac{2}{3}$[1-（-2）ⁿ]．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．