Question

9．已知動圓過定點F（1，0）且與定直線l：x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A、B的任意一條直線，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得圓心C的軌跡是以F為焦點，以l為準線的拋物線，進而得到答案．
（2）首先由于過點M（m，0）的直線與開口向右的拋物線有兩個交點A、B，則設(shè)該直線的方程為x=ty+m（包括無斜率的直線）；然后與拋物線方程聯(lián)立方程組，進而通過消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程；再根據(jù)韋達定理及向量的數(shù)量積公式，實現(xiàn)$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0的等價轉(zhuǎn)化；最后通過m、t的不等式求出m的取值范圍

解答 解：（1）∵動圓過定點F（1，0）且與定直線l：x=-1相切．
故圓心到點F（1，0）和直線l：x=-1的距離相等，
故圓心C的軌跡是以F為焦點，以l為準線的拋物線，
故動圓圓心C的軌跡方程這y²=4x；
（2）設(shè)過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)l的方程為x=ty+m，由$\left\{\begin{array}{l}x=ty+m\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，
于是y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4m，①
又$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
∵$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0?（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=$\frac{1}{4}$y²，于是不等式②等價于$\frac{1}{4}$y₁²•$\frac{1}{4}$y₂²+y₁y₂-（$\frac{1}{4}$y₁²+$\frac{1}{4}$y₂²）+1＜0
由①式，不等式③等價于m²-6m+1＜4t²④
對任意實數(shù)t，4t²的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m²-6m+1＜0，
解得3-2$\sqrt{2}$＜m＜3+2$\sqrt{2}$，
由此可知，存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0，
則m的取值范圍是（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）

點評 本題著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系和向量數(shù)量積運算等知識，同時考查了邏輯思維能力、計算能力和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中檔題．